将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限
lim x→∞,(1+x)^(1/x)
=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]
=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]
其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)
=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，
使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0
所以e的指数部分极限是0。
原式=limx->0(e^x/x - 1/x)
=limx->0(e^x - 1)/x
=1
扩展资料
举例：
limx→0[(1+x)^1/x-e]/x
原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x
=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）
=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）
=-e/2。
