1、三维空间曲线r[t]的密切平面的方程：
r[t_]:={x[t],y[t],z[t]}
p={x,y,z};
Det[{p-r[t],r'[t],r''[t]}]==0
圆柱螺旋线的密切平面方程是：
r[t_] := {Cos[t], Sin[t], t}
p = {x, y, z};
Det[{p - r[t], r'[t], r''[t]}] == 0
2、空间曲线的逗留点：
如果Cross[r'[t],r''[t]]==0，那么t就是这条曲线的逗留点。
可以证明圆柱螺旋线上面的所有点都不是逗留点：
r[t_] := {Cos[t], Sin[t], t}
Cross[r'[t], r''[t]]
Cross[r'[t], r''[t]].Cross[r'[t], r''[t]]
3、求圆柱螺旋线r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t}在点｛1，0，0｝点的密切平面的方程。
稍微计算一下可知，此时t=0，
r[t_] := {Cos[t], Sin[t], t}
p = {x, y, z};
Det[{p - r[t], r'[t], r''[t]}] == 0 // Simplify // TraditionalForm
% /. t -> 0
结果答案很简单，就是平面y==z
4、给出曲线的自然参数方程r[s]，那么它的单位切向量是：
α=D[r[s],s]
曲线的主法向量是：
β=D[r[s],{s,2}]/(D[r[s],{s,2}].D[r[s],{s,2}])
曲线的副法向量为：
γ=Cross[α,β]
以圆柱螺旋线为例，整体代码是：
r[s_] := {Cos[s/Sqrt[2]], Sin[s/Sqrt[2]], s/Sqrt[2]}
\[Alpha] = r'[s] // Simplify
\[Beta] = r''[s]/(Sqrt[r''[s].r''[s]]) // Simplify
\[Gamma] = Cross[\[Alpha], \[Beta]]
5、自然参数方程条件下，密切平面的方程是：
r[s_]:={x[s],y[s],z[s]}
p={x,y,z};
Det[{p-γ,α,β}]==0
法平面的方程是：
(p-γ).α==0
从切平面的方程是：
(p-γ).β==0
以圆柱螺旋线为例：
r[s_] := {Cos[s/Sqrt[2]], Sin[s/Sqrt[2]], s/Sqrt[2]}
\[Alpha] = r'[s] // Simplify;
\[Beta] = r''[s]/(Sqrt[r''[s].r''[s]]) // Simplify;
\[Gamma] = Cross[\[Alpha], \[Beta]] // Simplify;
p = {x, y, z};
Det[{p - \[Gamma], \[Alpha], \[Beta]}] == 0 // Simplify
(p - \[Gamma]).\[Alpha] == 0 // Simplify
(p - \[Gamma]).\[Beta] == 0 // Simplify
6、对于曲线的一般参数方程r[t]，有 ：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t}
α=r'[t]/Sqrt[r'[t].r'[t]]//Simplify
β=Cross[r'[t],r''[t]]/Sqrt[Cross[r'[t],r''[t]].Cross[r'[t],r''[t]]]//Simplify
γ=((r'[t].r'[t]) r''[t]-(r'[t].r''[t]) r'[t])/(Sqrt[r'[t].r'[t]] Sqrt[Cross[r'[t],r''[t]].Cross [r'[t],r''[t]]])//Simplify
