怎么判断无穷级数tan[1/(n*n)]的收敛性？

1、首先，判断无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数还是交错级数，如图所示，根据三角函数tanx的性质及1/(n*n)的取值区间可知：无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数。

2、对于正项级数，是不存在条件收敛的情况的，所以，只需判断无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的还是发散的。

3、根据达朗贝尔判别法（也称比值审敛法），需要判断当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是否小于1。

4、考虑到当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]都是无穷小量，根据泰勒公式以及等价无穷小相关知识（x~tanx）可作如图所示化简。

5、于是，我们得到当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是小于1的。

6、返回再看达朗贝尔判别法，可以得出结论：无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的。