1、根据函数特征，函数y=4x^3+5x^2+x自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。
2、定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。
3、计算求出函数的一阶导数，结合函数的定义域求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，并计算出函数y=4x^3+5x^2+x单调区间。
4、计算函数的二阶导数，得到函数的拐点，判断函数的凸凹性性，并得到函数y=4x^3+5x^2+x的凸凹区间。
5、 根据拐点判断函数二阶导数的符号，即可判断函数的凸凹性，进而求解函数y=4x^3+5x^2+x的凸凹区间。
6、 判断函数y=4x^3+5x^2+x在端点处的极限。
7、函数y=4x^3+5x^2+x上部分点解析如下表所示，横坐标和纵坐标。
8、综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数y=4x^3+5x^2+x的示意图如下：
