2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)

 时间:2013-06-09 03:26:10 贡献者:ZHY8120

导读:绝密★启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页.考试时间 120 分钟.满 分 150 分.答题前,考生务

2013年高考数学试题(湖南文科卷)
2013年高考数学试题(湖南文科卷)

绝密★启用前2013 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页.考试时间 120 分钟.满 分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题 卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置. 参考公式:样本数据 x1 , x2 , xn 的标准差s  (x1  x)2  (x2  x)2    (xn  x)2 其中 x 为样本平均数 n球的面积公式 S  4R2注意事项:第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.2.第Ⅰ卷只有选择题一道大题.一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数 1  2i ( i 是虚数单位)的虚部是 1 iA. 3 2B. 1 2C. 3D.1  2.已知 R 是实数集, Mx 2 x1, Nyyx 1 1 ,则 N  CR M A. (1,2)B. 0,2C. D. 1,23.现有10 个数,其平均数是 4 ,且这10 个数的平方和是 200 ,那么这个数组的标准差是A.1B. 2C. 3D. 44.设 S n 为等比数列{an} 的前 n 项和, 8a2 a50,则S S4 2A. 5B. 8C.  8D.15-1-

5.已知函数 f (x)  sin(2x   ) ,若存在 a  (0, ) ,使得 f (x  a)  f (x  a) 恒成立,则 a 6的值是A.  6B.  3C.  4D.  26.已知 m 、 n 表示直线, ,  , 表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为(1)    m, n  , n  m,则  (2)   ,    m,     n,则n  m(3) m  , m   , 则 ∥ (4) m  , n   , m  n,则  A.(1)、(2)B.(3)、(4)C.(2)、(3)D.(2)、(4)7.已知平面上不共线的四点 O, A, B,C ,若 OA  3OB  2OC,则 | AB | 等于 | BC |A.1B. 2C. 3D. 48.已知三角形 ABC的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 3 ,则这个三 2角形的周长是A.18B. 21C. 24D.159.函数 f (x)  lg x  1 的零点所在的区间是 xA. 0,1B. 1,10C. 10,100 D. (100,)10.过直线 y  x 上一点 P 引圆 x2  y2  6x  7  0 的切线,则切线长的最小值为A. 2 2B. 3 2 2C. 10 2D. 211.已知函数 f (x)  x 2  ax  2b .若a, b 都是区间0,4内的数,则使 f (1)  0 成立的概率是A. 3 4B. 1 4C. 3 8D. 5 812.已知双曲线的标准方程为x2 9y2 16 1 ,F 为其右焦点,A1, A2 是实轴的两端点,设 P为双曲线上不同于 A1, A2 的任意一点,直线 A1P, A2 P 与直线 x  a 分别交于两点 M , N ,若-2-

FM  FN  0 ,则 a 的值为A. 16 9B. 9 5C. 25 9D. 16 5第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)注意事项:1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.书写的答案如需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案.2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.3. 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.开始13.如图所示的程序框图输出的结果为__________. 14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示,其点都在一个球面上,则该球的表面积为__________.a  2, i 1i  10 否顶是a 1 1 a输出 ai  i 11结束11第13题图第 14 题图15.地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R  2 (lg E 11.4) .2011 年 3 月 11 日,日 3本东海岸发生了 9.0 级特大地震,2008 年中国汶川的地震级别为 8.0 级,那么 2011 年地震的能量是 2008 年地震能量的倍.16.给出下列命题:①已知 a ,b都, m是正数,且 a  1  a ,则 a  b ; b1 b②已知 f (x) 是 f (x) 的导函数,若 x  R , f (x)  0 ,则 f (1)  f (2) 一定成立;③命题“ x  R ,使得 x2  2x 1  0 ”的否定是真命题; ④“ x  1,且y  1”是“ x  y  2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 12 分)-3-

已知向量a(1,cosx)与b(3 sin x  cos x , y) 共线,且有函数 y  f (x) .222(Ⅰ)若 f (x)  1,求 cos(2  2x) 的值; 3(Ⅱ)在 ABC中,角 A, B,C ,的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cosC  c  2b ,求函数f (B) 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)  已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ,公差 d  0,且S3  S5  50, a1, a4 , a13 成等比数列.(Ⅰ)求数列an 的通项公式;(Ⅱ)设  bn an  是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的前n项和Tn.19.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 A  BCDE,其中 AB  BC  AC  BE  1,CD  2 ,CD  面ABC ,BE∥ CD , F 为 AD的中点.D(Ⅰ)求证: EF ∥面 ABC;(Ⅱ)求证:面 ADE  面ACD ;F(III)求四棱锥 A  BCDE的体积.ECABA20.(本小题满分 12 分)在某种产品表面进行腐蚀性检验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 x 之间对应的一组数据:-4-

时间 x (秒)510 15 20 30 40深度 y (微米) 610 1013 1617现确定的研究方案是:先从这 6 组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验.(Ⅰ)求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率;(Ⅱ)若选取的是第 2 组和第 5 组数据,根据其它 4 组数据,求得 y 关于 x 的线性回归方 程 yˆ  4 x  139 ,规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误 13 26差均不超过 2 微米,则认为得到的线性回归方程是可靠的,判断该线性回归方程是 否可靠.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)  ax  b 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 x  y  3  0 . x2 1(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)设 g(x)  ln x ,求证: g(x)  f (x) 在 x [1,) 上恒成立.22.(本小题满分 14 分)实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点,其焦点 F1, , F2 在 x 轴上.抛物线的顶点在原点 O ,对 称轴为 y 轴,两曲线在第一象限内相交于点 A ,且 AF1  AF2 ,△ AF1F2 的面积为 3 .(Ⅰ)求椭圆和抛物线的标准方程;(Ⅱ)过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于 B,C ,若 AC  2AB ,求直线 l 的斜率 k .yAF1 B oF2xC-5-

参考答案及评分标准一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)BDBADBBDBCCB二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.)13. 214. 19  3315. 10 216. ①③三.解答题17.(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)∵ a 与 b 共线∴1cos x 23 sin x  cos x y22y  3 sin x cos x  cos2 x  3 sin x  1 (1  cos x)  sin(x   )  1 3 ………… 分2222262∴ f (x)  sin(x   )  1  1,即 sin(x   )  162624 分 …………………………………………cos(2  2x)  cos2(  x)  2cos2 (  x) 1  2sin 2 (x   ) 1   1333626 分 …………………………………………(Ⅱ)已知 2a cosC  c  2b由正弦定理得:2sin AcosC  sin C  2sin B  2sin(A  C) 2sin AcosC  sin C  2sin AcosC  2cos Asin C∴ cos A  1 ,∴在 ABC中 ∠ A  23f (B)  sin(B   )  1 62∵∠ A   ∴ 0  B  2 ,   B    533666∴ 1  sin(B   )  1,1  f (B)  32628 分 ………………………………………… 10 分 …………………………………………-6-

∴函数 f (B) 的取值范围为 (1, 3] 218.(本小题满分 12 分)12 分 …………………………………………解:(Ⅰ)依题意得3a13 2 2d5a145 2d50(a1  3d )2  a1(a1  12d )2 分 …………………………………………解得 da123,4 分 …………………………………………an  a1  (n  1)d  3  2(n  1)  2n  1,即an  2n  1. 6 …………………………… 分(Ⅱ) bn an 3n1 , bn an  3n1  (2n  1)  3n17 分 …………………………………………Tn  3  5  3  7  32    (2n  1)  3n1 3Tn  3  3  5  32  7  33    (2n  1)  3n1  (2n  1)  3n 9 …………………… 分 2Tn  3  2  3  2  32    2  3n1  (2n  1)3n 3  2  3(1  3n1 )  (2n  1)3n 13 2n  3n∴ Tn  n  3n19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)取 AC 中点 G,连结 FG、BG,∵F,G 分别是 AD,AC 的中点∴FG∥CD,且 FG= 1 DC=1 . 2∵BE∥CD ∴FG 与 BE 平行且相等∴EF∥BG.2 分 ……………………………EF  面ABC, BG  面ABC∴ EF ∥面 ABC(Ⅱ)∵△ABC 为等边三角形4 分 …………………………… ∴BG⊥AC12 分 …………………………………………DFEGCABA-7-

又∵DC⊥面 ABC,BG  面 ABC ∴DC⊥BG∴BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC,DC,∴BG⊥面 ADC .6 分 …………………………………………∵EF∥BG∴EF⊥面 ADC∵EF  面 ADE,∴面 ADE⊥面 ADC . 8 分 …………………………………………(Ⅲ)连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥 E-ABC 和 E-ADC .1V A BCDE VEABC VE ACD 33 1 1 1433 3 2 123 63 . 12 ……………………… 分 4另法:取 BC 的中点为 O ,连结 AO ,则 AO  BC ,又 CD  平面 ABC,∴ CD  AO, BC  CD  C , ∴ AO  平 面 B C D E, ∴ AO 为 VABCDE 的 高 ,AO 3 2 , S BCDE(1  2) 1  23 2,VA BCDE1 33 23 23. 420.(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)设 6 组数据的编号分别为 1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件 A,从 6组数据中选取 2 组数据共有 15 种情况:(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)( 2,6 )( 3,4)(3,5)( 3,6 )( 4,5)(4,6)( 5,6 ),其 中事 件 A 包 含的基本事 件 有 10种.3 分 …………………………………………所以 P( A)  10  2 .所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是 2 . 6 分 ………………………15 33(Ⅱ) 当 x  10时, yˆ  4 10  139  219 ,| 219 10 | 2; 9 分 ……………………………………1326 26 26当 x  30时, yˆ  4  30  139  379 ,| 379 16 | 2;1326 26 26所以,该研究所得到的回归方程是可靠的.12 分 …………………………………………21.(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)将 x  1代入切线方程得 y  2 ∴ f (1)  b  a  2 ,化简得 b  a  4.112 分 …………………………………………-8-

f (x)  a(x2 1)  (ax  b)  2x (1  x2 )2f (1)  2a  2(b  a)  2b  b  1 .442解得: a  2,b  2∴ f (x)  2x  2 . x2 1(Ⅱ)由已知得 ln x  2x  2 在[1,) 上恒成立 x2 1化简得 (x2  1) ln x  2x  2即 x2 ln x  ln x  2x  2  0 在[1,) 上恒成立 .设 h(x)  x2 ln x  ln x  2x  2 ,h(x)  2x ln x  x  1  2 x∵ x  1 ∴ 2x ln x  0, x  1  2 ,即 h(x)  0 . x∴ h(x) 在[1,) 上单调递增, h(x)  h(1)  0∴ g(x)  f (x) 在 x [1,) 上恒成立 .4 分 ………………………………………… 6 分 ………………………………………… 8 分 ………………………………………… 10 分 ………………………………………… 12 分 …………………………………………22.(本小题满分 14 分)解(1)设椭圆方程为x2 a2y2 b21(a  b  0) , AF1  m, AF2  nm2  n2  4c 2 由题意知 m  n  4 3mn  62 分 …………………………………………解得 c2  9 ,∴ b2  12  9  3 . ∴椭圆的方程为 x 2  y 2  1 12 34 分 …………………………………………∵ y A  c  3 ,∴ yA  1 ,代入椭圆的方程得 x A  2 2 ,-9-

将点 A 坐标代入得抛物线方程为 x 2  8 y .6 分 …………………………………………(2)设直线 l 的方程为 y  1  k(x  2 2) , B(x1, y1), C(x2 , y2 )由 AC  2AB 得 x2  2 2  2(x1  2 2) , 化简得 2x1  x2  2 28 分 …………………………………………联立直线与抛物线的方程  y x1 2k 8y(x22),得 x2  8kx 16 2k  8  0 ∴ x1  2 2  8k ①10 分 …………………………………………联立直线与椭圆的方程  y 1 x2  k( 4y2x 2 122)得 (1  4k 2 )x2  (8k 16 2k 2 )x  32k 2 16 2k  8  0∴ x2  22  16 2k 2  8k ② 1  4k 212 分 …………………………………………∴ 2x1  x2  2(8k  22)  16 2k 2  8k  2 1  4k 2222整理得: (16k  4 2)(1  2k )  0 1  4k 2∴ k  2 ,所以直线 l 的斜率为 2 .4414 分 …………………………………………- 10 -