2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

 时间:2013-09-09 18:24:33 贡献者:plutolicj

导读:2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的

2016新课标二卷数学试题及答案一览(理科)   2016年新课标二卷高考
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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.1.(2013 课标全国Ⅱ,理 1)已知集合 M={x|(x-1) <4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N=( ). A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( ). A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i 3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ).21 A. 3l1 B. 3 1 C. 91 D. 9 α ,4. (2013 课标全国Ⅱ, 4)已知 m, 为异面直线, ⊥平面 α , ⊥平面 β .直线 l 满足 l⊥m, ⊥n, 理 n m n l l β ,则( ). A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 5 2 5. (2013 课标全国Ⅱ, 5)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5, a=( 理 则 ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 6.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S =( ).1 1 1 1+     10 A. 2 3 1 1 1 1+     10! B. 2! 3! 1 1 1 1+     11 C. 2 3 1 1 1 1+     11! D. 2! 3!7. (2013 课标全国Ⅱ, 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), 理 (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, zOx 平面为投影面, 以 则得到的正视图可以为( ).8.(2013 课标全国Ⅱ,理 8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ). A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c x  1,  9.(2013 课标全国Ⅱ,理 9)已知 a>0,x,y 满足约束条件  x  y  3, 若 z=2x+y 的最小值为 1,则  y  a x  3. a=().1 A. 41 B. 2C.12013D.2全国新课标卷 2 理科数学 第1页

10.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是( ). A.  x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 2 11.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为 直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ). A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为 面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( ).32A.(0,1) 2 1 ,  1   2 2   B. 2 1 ,  1   2 3  C.1 1   ,  D.  3 2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13. (2013 课标全国Ⅱ, 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, 为 CD 的中点, AE  BD =__________. 理 E 则 14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之 和等于 5 的概率为   1 ,则 n=__________. 14  π 1 则   , sin θ +cos θ =__________. 4 215. (2013 课标全国Ⅱ, 15)设 θ 为第二象限角, tan    理 若16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值 为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a =bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.2013全国新课标卷 2 理科数学第2页

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的 中点,AA1=AC=CB=2 AB . 2(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. X(单位: 以 t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作 为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概率等于需 求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.2013全国新课标卷 2 理科数学第3页

20.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: >0)右焦点的直线 x  y  3  0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为x2 y 2  =1 (a>b a 2 b21 . 2(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.x2013全国新课标卷 2 理科数学第4页

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 为△ABC 外接圆的切线, 的延长线交直线 CD 于点 D, , 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, BC·AE CD AB E F 且 =DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C:  x  2 cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),  y  2sin tM 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.2013全国新课标卷 2 理科数学第5页

24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤ (2)1 ; 3a 2 b2 c 2    1. b c a2013全国新课标卷 2 理科数学第6页

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.1. 答案:A 2 解析:解不等式(x-1) <4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N= {0,1,2},故选 A. 2. 答案:A 解析: z =2i 2i1  i  2  2i = =-1+i.  1  i 1  i 1  i  23. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题 意,因此 q≠1.a1 (1  q 3 ) ∵q≠1 时,S3= =a1·q+10a1, 1 q∴1  q3 2 =q+10,整理得 q =9. 1 q4∵a5=a1·q =9,即 81a1=9,∴a1= 4. 答案:D1 . 9解析:因为 m⊥α ,l⊥m,l α ,所以 l∥α .同理可得 l∥β . 又因为 m,n 为异面直线,所以 α 与 β 相交,且 l 平行于它们的交线.故选 D. 5. 答案:D 解析:因为(1+x) 的二项展开式的通项为 C 5 x (0≤r≤5,r∈Z),则含 x 的项为 C 5 x +ax· C5 x =(10 +5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1. 6. 答案:B 解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1;2 5rr22211 1 , S =1+ ; 2 2 1 1 1 当 k=3 时, T  , S  1+  ; 23 2 23 1 1 1 1 当 k=4 时, T  , S  1+  ;…;  2  3 4 2 2  3 2  3 4 1 1 1 1 当 k=10 时, T  , S  1+     ,k 增加 1 变为 11,满足 k>N,输出 S, 2  3  4  10 2! 3! 10!当 k=2 时, T  所以 B 正确. 7. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:2013 全国新课标卷 2 理科数学 第7页

则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 8. 答案:D 解析:根据公式变形, a ,故选 A.lg 6 lg 2 lg10 lg 2 lg14 lg 2 ,b  ,c  ,因为 lg 7>lg 5  1  1  1 lg 5 lg 5 lg 7 lg 7 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 2 >lg 3,所以 ,即 c<b<a.故选 D.   lg 7 lg 5 lg 39. 答案:B 解析:由题意作出  x  1, 所表示的区域如图阴影部分所示, x  y  3作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为 (1,-1),结合题意知直线 y= a(x -3)过点(1,-1),代入得a1 1 ,所以 a  . 2 210. 答案:C 解析:∵x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如下图所示,则在 (-∞,x0)上不单调,故 C 不正确. 11. 答案:C 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ 则 x0=5-p =5, 2p . 2p p   , 0  ,所以以 MF 为直径的圆的方程为(x-x0)  x   +(y-y0)y=0. 2 2   2 y 将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 0 -4y0+8=0,所以 y0=4. 2 p  2 由 y0 =2px0,得 16  2 p  5   ,解之得 p=2,或 p=8. 2 又点 F 的坐标为  所以 C 的方程为 y =4x 或 y =16x.故选 C.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第8页2 2

12. 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为 (0,2),点 E 的坐标为(1,2),则 AE =(1,2), BD =(-2,2),所以      AE  BD  2 .14.答案:8 解析:从 1,2,…,n 中任取两个不同的数共有 C n 种取法,两数之和为 5 的有(1,4),(2,3)2 种,所以22 1 2 4 1  ,即   ,解得 n=8. 2 n n  1 n n  1 14 C n 14 215.答案: π  1  tan  1 1 1  ,得 tan θ =  ,即 sin θ =  cos θ .  4  1  tan  2 3 3 10 2 2 2 将其代入 sin θ +cos θ =1,得 cos   1 . 9 3 10 10 10 因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ =  ,sin θ = ,sin θ +cos θ =  . 10 10 5解析:由 tan   10 5 16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+15 14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d  , 3 n(n  1) 2 1 2 10 所以 Sn= 3n    n  n. 2 3 3 3 1 3 10 2 20 令 f(n)=nSn,则 f (n)  n  n , f '(n)  n 2  n . 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n  . 3 20 20 20 当n  时,f′(n)>0, 0

又 B∈(0,π ),所以 B  (2)△ABC 的面积 S π . 41 2 ac sin B  ac . 2 4 π 2 2 由已知及余弦定理得 4=a +c - 2ac cos . 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac  ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1 .18. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 平面 A1CD,2 AB 得,AC⊥BC. 2   以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 =(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,    n  CD  0,  x1  y1  0,  则   即 n  CA1  0,  2 x1  2 z1  0. 可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,  m  CE  0,  则 可取 m=(2,1,-2).  m  CA1  0,  n· m 3  从而 cos〈n,m〉= , | n || m | 3故 sin〈n,m〉=6 . 3即二面角 D-A1C-E 的正弦值为6 . 319. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T  800 X  39000,100  X  130, 65000,130  X  150.(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 20.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 10 页

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则x12 y12 x2 y2 y y  2 =1 , 22  22 =1 , 2 1 =  1 , 2 x2  x1 a b a bb 2  x2  x1  y y   2 1 =1 . 2 a  y2  y1  x2  x1 y 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0  , x0 2由此可得 所以 a =2b . 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a -b =3. 2 2 因此 a =6,b =3. 所以 M 的方程为2 2 2 2x2 y 2  =1 . 6 3 x  y  3  0,  (2)由  x 2 y 2  1,   3 6  4 3 , x   x  0,   3 解得  或   y   3 ,  y  3.  3 因此|AB|=4 6 . 3由题意可设直线 CD 的方程为y= x  n   5 3   n  3,   3  设 C(x3,y3),D(x4,y4). y  x  n,  2 2 由  x2 y 2 得 3x +4nx+2n -6=0. 1   3 6于是 x3,4=2n  29  n 2  . 3因为直线 CD 的斜率为 1,4 9  n2 . 3 1 8 6 9  n2 . 由已知,四边形 ACBD 的面积 S  | CD |  | AB | 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3所以|CD|= 2 | x4  x3 | 21. 解:(1)f′(x)= e x1 . xm2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 11 页由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1.

于是 f(x)=e -ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= e x x1 . x 1函数 f′(x)= e x 1 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. x 1因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f′(x)= e x 1 在(-2,+∞)单调递增. x2又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e 0 = 故 f(x)≥f(x0)=x1 ,ln(x0+2)=-x0, x0  2 x  12 1 +x0= 0 >0. x0  2 x0  2综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A,由题设知BC DC ,  FA EA故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径. 2 (2)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC 2 2 2 2 2 =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC =6DB .而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).221 . 2M 的轨迹的参数方程为  x  cos   cos 2 , (α 为参数,0<α <2π ).  y  sin   sin 2(2)M 点到坐标原点的距离d  x 2  y 2  2  2 cos  (0<α <2π ).当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 24.2013 全国新课标卷 2 理科数学 第 12 页

解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 得 a +b +c ≥ab+bc+ca. 2 2 2 2 由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ (2)因为2222221 . 3a2 b2 c2  b  2a ,  c  2b ,  a  2c , b c a 2 2 2 a b c 故    (a  b  c) ≥2(a+b+c), b c a 2 a b2 c 2 即   ≥a+b+c. b c a 2 a b2 c 2 所以   ≥1. b c a2013全国新课标卷 2 理科数学第 13 页

 
 

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